『ポアンカレ予想』 ドナル・オシア 糸川洋・訳 (新潮文庫)

 ポアンカレ予想に関する本を読むのは、2年前の『完全なる証明』以来。
 2年前の記事では、こんなことを書いていました。

   肝心のポアンカレ予想ですが・・・。

     単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。

   「単連結」も「閉多様体」も「同相」も明確に説明出来ません。。
   まずは、Wikipediaの記述から、読み解いてみますか・・・。


 この『ポアンカレ予想』ではどのように書かれているかというと・・・。

   多様体上のあらゆる閉じたループを一点に縮めることのできる
   すべてのコンパクトな3-多様体は3-球面と位相的に同じ(つまり同相)である 


 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・。

 幸い、巻末には用語解説があるので、引用しておきます。

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 ポアンカレ予想
   現在は証明済みの予想で、境界を持たず、単連結でコンパクトなすべての3次元多様体は
   3次元球面と同相であるとするもの。

 多様体
   個々の点ではユークリッド空間のように見える数学的集合。
   (正式にいえば、任意の点に十分近い領域がn-空間と同相であるような点の集合)

 3次元多様体(または3-多様体)
   宇宙のような3次元空間が取り得る形をモデルとする理想化された数学的な形。
   すべての点の周囲の領域を水槽型の地図に描くことができる。
   言い換えれば、すべての点の近くの領域が3-空間のように見える。

 3-球面
   二つの球体の境界(球面)上の点どうしを一致させることによって構築される多様体。
   4次元空間内の1点から同じ距離だけ離れている点の集合は3-球面である。

 境界
   多様体の縁。多様体が境界を持っていれば、その境界は一つ低い次元の多様体である。

 単連結
   すべてのループを1点に縮めることができれば、多様体は単連結である。
   これは、基本群が一つの要素(必然的に単位元)から構成されるというのと同じことである。

 コンパクト
   多様体が有限個の地図から構成されるアトラスを持っていれば、その多様体はコンパクトである。

 同相写像
   ひとつの多様体上の近くの点が別の多様体上の近くの点に対応する二つの多様体間の一対一対応。

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 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・。

 読み物としては面白かったのですが、やはり数学的なことがある程度は分からないと・・・。

 まずは、Wikipediaの記述から、読み解いてみますか・・・。

 ・・・というのは2年前と同じ。結局、2年前は読み解けなかったので。

 検索していたら、こんなのも見つけました。

    → 数学の「ポアンカレ予想」を理解するための,動画・原論文・読み物・PDFのまとめ
                 (ポアンカレからペレルマンまでの流れ)

 動画もあり、なかなか充実している感じ。
 分からないなりに、のぞいてみるつもりです。。

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 まえがき
第1章 二〇〇三年四月、ケンブリッジ
第2章 地球の形
第3章 あり得る世界の形
第4章 宇宙の形
第5章 ユークリッドの幾何学
第6章 非ユークリッド幾何学
第7章 リーマンの教授資格取得講演
第8章 リーマンの遺産
第9章 クラインとポアンカレ
第10章 ポアンカレの位相幾何学の論文
第11章 ポアンカレの遺産
第12章 ポアンカレ予想が根づくまで
第13章 高次元での解決
第14章 新ミレニアムを飾る証明
第15章 二〇〇六年八月、マドリード
  謝辞 文庫版訳者あとがき
               (平成26年10月1日発行)

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